NHẬN THỨC TỰ NHIÊN VÀ LOGIC

(NATURERKENNEN UND LOGIK)

David Hilbert, Göttingen

Nguyễn Xuân Xanh chuyển ngữ

Lời nói đầu. Năm 1930, tức gần một thế kỷ trước, tại Hiệp hội các nhà khoa học tự nhiên và bác sĩ Đức (Gesellschaft der Deutschen Naturforscher und Ärzte) diễn ra ở thành phố Königsberg của Đông Phổ, nay là Kaliningrad thuộc Nga, nhà toán học David Hilbert, được xem như một Euclid thứ hai của thế kỷ 20, đọc một báo cáo quan trọng có tên Nhận thức tự nhiên và Logic^[1] (Naturerkennen und Logik). Ông trình bày về hệ luận của các khám phá lớn của khoa học diễn ra từ cuối thế kỷ 19 đến những thập niên đầu thế kỷ 20, có ảnh hưởng lớn lên triết học tự nhiên (natural philosophy) và nhận thuất luận (epistemology) trong toán học và khoa học tự nhiên. Các tiến bộ này xuất phát mạnh mẽ và chủ yếu từ những khám phá trong lãnh vực vật lý và thiên văn học. Triết học tự nhiên là môn học ngự trị lâu đời ở phương Tây. Trong tác phẩm Principia của Newton thế kỷ 17, nó chịu một khúc quanh đầu tiên lớn nhất trong lịch sử rất tích cực, gắn liền với cuộc cách mạng khoa học và có ảnh hưởng lớn lên phong trào khai sáng ở châu Âu. Và 250 năm sau, một khúc quanh khác có lẽ còn triệt để hơn đã diễn ra cũng tại châu Âu. Hilbert muốn nói về khúc quanh đó mà ông là một nhân chứng như một bài học nhận thức luận cho công chúng. Bài này không thể thiếu cho văn hóa khoa học.

Đoạn cuối của bài diễn tự ([6]) được Hilbert làm gọn lại, và được ông đọc trên radio trong bốn phút. Đó là diễn từ rất ấn tượng. Xem giọng nói của ông ở đây: https://rosetta.vn/nguyenxuanxanh/david-hilbert/

Sự phân đoạn [1], [2], … là do người dịch thực hiện cho dễ đọc hơn về mặt tâm lý. Trong [2] tôi cũng đã lượt bớt một thí dụ của ông. Tôi tin không làm ảnh hưởng đến toàn bộ ý tưởng của Hilbert, vốn rất phong phú.

Tôi rất mong nhận được các lời bình của các đọc giả xa gần về nội dung bài viết của Hilbert.

Nguyễn Xuân Xanh, 6/2/2023

[1]

Sự nhận thức về tự nhiên và cuộc sống là nhiệm vụ quan trọng nhất của chúng ta. Mọi nỗ lực và ý chí của con người đều kết thúc ở đó, và chúng ta đã được ban tặng cho thành công ngày càng nhiều hơn. Trong vài thập kỷ qua, chúng ta đã có được nhận ​​thức phong phú và sâu sắc hơn về tự nhiên so với nhiều thế kỷ trước. Hôm nay chúng ta muốn sử dụng tình huống thuận lợi này để xử lý một vấn đề triết học cũ phù hợp với chủ đề của chúng ta, đó là câu hỏi còn nhiều tranh cãi về phần đóng góp mà tư duy một mặt và kinh nghiệm mặt khác dự phần vào nhận ​​​​thức của chúng ta. Câu hỏi cũ này là chính đáng, bởi vì trả lời nó về cơ bản có nghĩa là xác định loại nhận ​​​​thức khoa học tự nhiên mà chúng ta có nói chung là loại nào, và theo nghĩa nào tất cả kiến ​​​​thức mà chúng ta thu thập trong khoa học tự nhiên là chân lý.

Không tự phụ đối với các nhà triết học và nhà nghiên cứu cổ đại, ngày nay chúng ta có thể tin vào một câu trả lời đúng đắn cho câu hỏi này một cách chắc chắn hơn là họ đã làm, vì hai lý do: thứ nhất là tốc độ phát triển nhanh chóng đã được đề cập ở trên mà các ngành khoa học của chúng ta ngày nay đang phát triển.

Những khám phá quan trọng của những thời kỳ trước đó, từ Copernicus, Kepler, Galileo, Newton đến Maxwell, trải dài trong gần bốn thế kỷ. Kỷ nguyên hiện đại sau đó bắt đầu với việc phát hiện ra sóng Hertz. Và sau đó nhanh chóng: Röntgen phát hiện ra các tia quang tuyến, Curie hiện tượng phóng xạ, Planck thiết lập thuyết lượng tử. Và trong thời gian gần đây nhất, các khám phá về những hiện tượng mới và những mối liên hệ đáng ngạc nhiên đang ồ ạt kéo đến khiến rất nhiều khuôn mặt tỏ ra bất an: Thuyết phóng xạ của Rutherford, định luật hv của Einstein, cách giải thích của Bohr về quang phổ, cách đánh số nguyên tố của Moseley, thuyết tương đối của Einstein, sự phân hủy nitơ của Rutherford, cấu trúc các nguyên tố của Bohr, lý thuyết đồng vị của Aston.

Vì vậy, chỉ riêng trong lĩnh vực vật lý, chúng ta đã có một loạt khám phá không ngừng nghỉ, và các khám phá này quan trọng làm sao! Không khám phá nào trong số đó thua kém những thành tựu của thời trước về sự vĩ đại, hơn nữa chúng bị nén lại gần nhau hơn về thời gian, nhưng về nội dung cũng đa dạng như thời trước. Và trong đó, lý thuyết và thực hành, tư duy và kinh nghiệm không ngừng thể hiện sự gắn bó mật thiết với nhau. Khi thì lý thuyết đi trước, khi thì thực nghiệm, luôn luôn xác nhận, bổ sung và kích thích cho nhau. Điều tương tự cũng áp dụng cho hóa học, thiên văn học và các ngành sinh học.

Vì vậy, đối với các triết gia xưa hơn trước đây, chúng ta có lợi thế là đang chứng kiến ​​một số lượng lớn những khám phá như vậy và quen biết được những quan điểm mới được tạo ra trong quá trình hình thành của chúng. Trong số những khám phá mới, có nhiều cái đã làm thay đổi những quan điểm và tư tưởng cũ đã bám rễ sâu, hoặc loại bỏ chúng hoàn toàn. Ví dụ, chỉ cần nghĩ về khái niệm mới về thời gian trong thuyết tương đối, hoặc về sự phân hủy của các nguyên tố hóa học, và cách mà qua đó những định kiến đã bị loại bỏ, những thứ ​​mà trước đây không ai dám nghĩ sẽ thay đổi.

[2]

Nhưng vẫn còn một tình huống thứ hai ngày nay giúp chúng ta giải quyết vấn đề triết học cũ xưa đó. Không chỉ kỹ thuật thí nghiệm và nghệ thuật để xây dựng các tòa nhà vật lý-lý thuyết đã đạt đến một trình độ chưa từng đạt tới, mà đối tác của nó, cụ thể là khoa học logic, cũng đã đạt được những tiến bộ đáng kể. Ngày nay, có một phương pháp chung để giải quyết lý thuyết các câu hỏi khoa học tự nhiên; nó giúp dễ dàng xác định vấn đề hơn trong mọi trường hợp, và giúp chuẩn bị đưa ra giải pháp cho bài toán, cụ thể đó là phương pháp tiên đề (axiomatic method).

Ý nghĩa của phương pháp tiên đề (Axiomatik) được nhắc đến nhiều ngày nay là gì? Hãy xem, ý tưởng cơ bản dựa trên thực tế là, ngay cả trong nhiều lĩnh vực tri ​​thức sâu rộng, một vài mệnh đề – được gọi là tiên đề – thường là đủ để xây dựng toàn bộ tòa nhà của lý thuyết một cách thuần túy logic. Nhưng nhận xét này chưa nói hết tầm quan trọng của nó. Các ví dụ có thể giải thích tốt nhất phương pháp tiên đề cho chúng ta. Ví dụ lâu đời nhất và nổi tiếng nhất của phương pháp tiên đề là hình học Euclid. Tuy nhiên, tôi muốn minh họa ngắn gọn phương pháp tiên đề bằng một ví dụ rất rõ ràng từ sinh học hiện đại. […]^[2]

Một ví dụ khác về phương pháp tiên đề trong một lĩnh vực hoàn toàn khác là như sau:

Trong các ngành khoa học lý thuyết của chúng ta, chúng ta đã quen với việc áp dụng các quá trình tư duy hình thức và các phương pháp trừu tượng. Phương pháp tiên đề thuộc về logic học. Khi nghe đến từ logic, người ta nghĩ đến một điều rất nhàm chán và khó khăn. Ngày nay, khoa học logic đã trở nên dễ hiểu và rất thú vị. Chẳng hạn, người ta đã nhận ra rằng các phương pháp và khái niệm được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày đòi hỏi mức độ trừu tượng cao và chỉ có thể hiểu được thông qua ứng dụng không ý thức của các phương pháp tiên đề. Chẳng hạn, quá trình trình tổng quát của phủ định (Negation) và đặc biệt khái niệm “vô cực” (Unendlich). Liên quan đến thuật ngữ “vô cực”, chúng ta phải thấy rõ rằng “vô cực” không có ý nghĩa trực quan và, nếu không có những nghiên cứu thêm, nó sẽ không có ý nghĩa gì cả. Bởi vì ở khắp mọi nơi chỉ có những thứ hữu hạn. Không có tốc độ vô hạn và không có lực hoặc hiệu ứng lan truyền nhanh vô hạn. Ngoài ra, tác động (Wirkung) có bản chất chất rời rạc và chỉ tồn tại ở dạng lượng tử. Không có gì liên tục cả để có thể được chia ra vô tận. Ngay cả ánh sáng cũng có cấu trúc nguyên tử, cũng như độ lớn của tác động. Tôi chắc chắn rằng ngay cả không gian cũng có phạm vi hữu hạn, và một ngày nào đó các nhà thiên văn học sẽ có thể kể cho chúng ta biết không gian dài, cao và rộng bao nhiêu km. Ngay cả khi trong thực tế thường có những trường hợp số lượng rất lớn, v.d. khoảng cách của các ngôi sao tính bằng km, hoặc số lượng các ván cờ có thể khác nhau về cơ bản, thì tính bất tận và vô tận, những khái niệm phủ định các tình huống phổ biến ở khắp mọi nơi, là một sự trừu tượng hóa khủng khiếp – chỉ có thể thực hiện được thông qua ứng dụng có ý thức hoặc vô thức của phương pháp tiên đề. Quan niệm về cái vô hạn này, cái mà tôi đã thiết lập thông qua các nghiên cứu cặn kẽ, giải quyết một loạt câu hỏi cơ bản, đặc biệt qua đó, những nghịch lý của Kant về không gian và về khả năng phân chia vô hạn đã trở nên không còn hiệu lực, và những khó khăn nảy sinh theo đó cũng đã được giải quyết.

[3]

Nếu bây giờ chuyển sang chính vấn đề của chúng ta, tự nhiên và tư duy có liên hệ với nhau như thế nào, thì chúng ta hãy đưa ra ba điểm chính ở đây. Mối quan hệ đầu tiên liên quan đến vấn đề về vô cực vừa được thảo luận. Chúng ta đã thấy: cái vô hạn không được thực hiện ở bất cứ nơi nào; nó không có trong tự nhiên và cũng không được phép làm cơ sở trong suy nghĩ của chúng ta mà không có sự đề phòng đặc biệt. Ở đây, tôi đã nhìn thấy một sự song song quan trọng giữa tự nhiên và tư duy, một sự thống nhất cơ bản giữa kinh nghiệm và lý thuyết.

Chúng ta nhận thấy một sự song song khác (thứ hai): suy nghĩ của chúng ta hướng đến sự thống nhất và tìm cách xây dựng sự thống nhất; chúng ta quan sát sự thống nhất của vật liệu (stuff) trong vật chất, và chúng ta nhận thấy sự thống nhất của các quy luật tự nhiên ở mọi nơi. Thực tế, tự nhiên rất hỗ trợ nghiên cứu của chúng ta, như thể nó sẵn sàng tiết lộ bí mật của mình. Sự phân bố thưa thớt của khối lượng trong không gian thiên thể cho phép khám phá và xác nhận chính xác hơn định luật Newton. Bất chấp tốc độ ánh sáng cao, Michelson đã có thể xác định một cách chắc chắn rằng định luật cộng của vận tốc là không đúng, bởi vì trái đất của chúng ta vẫn quay quanh mặt trời đủ nhanh để làm điều này. Sao Thủy đang làm vui lòng chúng ta bằng cách thực hiện chuyển động điểm cận nhật để chúng ta qua đó có thể kiểm tra lý thuyết của Einstein. Và tia sáng của ngôi sao cố định đi qua mặt trời sao cho sự lệch của nó được quan sát thấy.

Nhưng đập vào mắt hơn nữa là một hiện tượng (thứ ba), mà chúng tôi theo một nghĩa khác với Leibniz, gọi là sự hài hòa tiền định (pre-established harmony), thực tế là một sự hiện thân và hiện thực hóa các ý tưởng toán học. Các ví dụ cũ hơn về điều này là các tiết diện hình nón, đã được nghiên cứu từ rất lâu trước khi người ta ngờ rằng các hành tinh của chúng ta hoặc thậm chí các electron chuyển động trên những quỹ đạo như vậy. Nhưng ví dụ vĩ đại nhất và tuyệt vời nhất về sự hài hòa tiền định là thuyết tương đối nổi tiếng của Einstein. Ở đây, chỉ bằng yêu cầu tổng quát về tính bất biến kết hợp với nguyên lý về tính đơn giản lớn nhất mà các phương trình vi phân cho thế năng hấp dẫn được thiết lập rõ ràng về mặt toán học; và sự thiết lập này sẽ bất khả thi nếu không có những nghiên cứu toán học sâu xa và khó khăn của Riemann đã tồn tại từ rất lâu trước đó. Trong thời gian gần đây, ngày càng có nhiều trường hợp trong đó các lý thuyết toán học nằm tại tâm điểm của mối quan tâm trong toán học đồng thời lại là những lý thuyết được cần đến trong vật lý. Tôi đã phát triển lý thuyết về vô số biến số vì lợi ích toán học thuần túy, thậm chí áp dụng thuật ngữ phân tích quang phổ, mà không ngờ rằng những điều này sau này sẽ được nhận ra trong quang phổ thực của vật lý.

Chúng ta chỉ có thể hiểu được sự thống nhất này giữa tự nhiên và tư duy, giữa thực nghiệm và lý thuyết, nếu chúng ta xem xét yếu tố hình thức và cơ chế liên quan trên cả hai mặt của tự nhiên và giác tính (Verstand, understanding) của chúng ta. Quá trình toán học của sự loại bỏ dường như cung cấp các điểm dừng và trạm nghỉ nơi các vật thể trong thế giới thực cũng như những ý tưởng trong thế giới tinh thần trú ngụ, và do đó chúng cho phép chúng ta xem xét và so sánh.

Tuy nhiên, ngay cả sự hài hòa tiền định này vẫn chưa nói hết các mối quan hệ giữa tự nhiên và tư duy, và chưa làm những bí ẩn sâu sắc nhất về vấn đề của chúng ta lộ rõ. Để hiểu được điều này, chúng ta hãy xem xét toàn bộ phức hợp tri ​​​​thức vật lý-thiên văn. Lúc đó, chúng ta nhận thấy trong khoa học ngày nay một quan điểm vượt xa các cách đặt vấn đề và mục tiêu cũ trước đây của khoa học của chúng ta: đó là thực tế, rằng khoa học ngày nay, không chỉ theo nghĩa cơ học cổ điển từ dữ liệu của hiện tại, dạy cho chúng ta xác định trước các chuyển động trong tương lai và các hiện tượng được mong đợi, nhưng nó cũng còn chỉ ra rằng các trạng thái thực tế hiện tại của vật chất trên trái đất và trong vũ trụ không phải là ngẫu nhiên hay tùy tiện, mà tuân thủ các quy luật vật lý.

Những bằng chứng quan trọng nhất cho điều này là các mô hình nguyên tử của Bohr, cấu trúc của thế giới các vì sao, và cuối cùng là toàn bộ lịch sử phát triển của sự sống hữu cơ. Việc theo đuổi các phương pháp này dường như thực sự phải dẫn đến một hệ thống các quy luật tự nhiên phù hợp với thực tế trong tồng thể của chúng, và sau đó tất cả những gì thực sự cần là tư duy, nghĩa là suy luận có tính khái niệm để đạt được tất cả các tri ​​​​thức vật lý; lúc đó Hegel đáng lẽ sẽ đúng khi khẳng định rằng tất cả các sự kiện tự nhiên đều có thể được suy ra từ các khái niệm. Nhưng kết luận này là không chính xác. Bởi vì nguồn gốc của các định luật thế giới thì thế nào? Chúng ta suy chúng từ đâu? Và ai dạy cho chúng ta, rằng chúng phù hợp với thực tại? Câu trả lời là chỉ có kinh nghiệm mới giúp chúng ta có được những thứ đó. Ngược với Hegel, chúng ta nhận thức rằng các quy luật của thế giới không thể đạt được bằng cách nào khác ngoài từ kinh nghiệm. Có thể nhiều quan điểm suy đoán đa dạng cùng tác động đến việc xây dựng khung khái niệm vật lý: Liệu các định luật đã được thiết lập và khung logic của các khái niệm được xây dựng từ chúng có đúng hay không, điều đó chỉ có kinh nghiệm mới có thể quyết định. Đôi khi một ý tưởng có nguồn gốc ban đầu từ tư duy thuần túy, chẳng hạn như ý tưởng về thuyết nguyên tử của Democrit, trong khi sự tồn tại của nguyên tử chỉ được chứng minh bởi vật lý thực nghiệm hai thiên niên kỷ sau. Đôi khi kinh nghiệm đi trước và áp đặt quan điểm suy đoán lên tinh thần. Vì vậy, chúng ta cảm ơn sự thúc đẩy mạnh mẽ của thí nghiệm của Michelson mà vì thế định kiến ​​​​bám rễ vững chắc về thời gian tuyệt đối có thể bị xóa sạch và cuối cùng ý tưởng về thuyết tương đối rộng có thể được Einstein tìm ra.^[3]

[4]

Tuy nhiên, ai muốn phủ nhận rằng các quy luật của thế giới xuất phát từ kinh nghiệm đều phải khẳng định rằng có một nguồn tri thức thứ ba bên cạnh suy luận và kinh nghiệm.^[4]

Trên thực tế, các triết gia – và Kant là đại diện kinh điển của quan điểm này – đã khẳng định rằng, ngoài logic và kinh nghiệm, chúng ta vẫn có một loại tri thức tiên nghiệm (a priori)^[5] nào đó về thực tại. Thật sự, tôi thừa nhận, một số nhận thức tiên nghiệm nhất định là cần thiết cho việc xây dựng các khung lý thuyết và rằng sự phát triển tri ​​thức của chúng ta luôn dựa trên những hiểu biết như vậy. Tôi tin rằng kiến ​​thức toán học cuối cùng cũng dựa trên một loại nhận thức trực quan như thế. Và rằng, thậm chí để xây dựng lý thuyết số chúng ta a priori cũng cần một quan niệm trực quan nhất định. Do đó, ý tưởng cơ bản chung nhất của nhận thức luận của Kant vẫn giữ được tầm quan trọng của nó: cụ thể, vấn đề triết học là làm sao xác định được nhận thức trực quan đó một cách tiên nghiệm, và qua đó nghiên cứu điều kiện về khả năng của mỗi nhận thức có tính khái niệm và đồng thời của mỗi kinh nghiệm. Tôi tin rằng điều này về cơ bản đã xảy ra trong các nghiên cứu của tôi về các nguyên lý toán học. Tính tiên nghiệm (a priori) không gì nhiều hơn hay ít hơn là một thái độ căn bản hoặc sự diễn đạt một số điều kiện tiên quyết không thể thiếu cho tư duy và kinh nghiệm. Nhưng ranh giới giữa một bên là những gì chúng ta sở hữu một cách tiên nghiệm và một bên là những gì cần thiết cho kinh nghiệm phải được vạch ra là khác với Kant; Kant đã đánh giá vai trò và phạm vi của tiên nghiệm quá cao.

Vào thời của Kant, người ta có thể nghĩ rằng các khái niệm về không gian và thời gian mà người ta đã sở hữu cũng có thể áp dụng phổ biến và trực tiếp vào thực tại, chẳng hạn những ý tưởng của chúng ta về số lượng, thứ tự và kích thước, mà chúng ta thường xuyên sử dụng trong các lý thuyết toán học và vật lý theo cách quen thuộc đối với chúng ta. Vậy thì, lý thuyết về không gian và thời gian, đặc biệt là hình học, thực sự sẽ là một cái gì đó như số học, đi trước mọi nhận ​​​​thức về tự nhiên. Nhưng quan điểm này của Kant đã bị bác bỏ trước khi sự phát triển của vật lý bắt buộc nó, đặc biệt bởi Riemann và Helmholtz– một cách chính đáng; bởi vì hình học không gì khác hơn là một phần của toàn bộ khung khái niệm vật lý mô tả các mối quan hệ vị trí có thể có của các vật rắn với nhau trong thế giới của các vật thể thực. Rằng có những vật rắn có thể di chuyển được và mối quan hệ vị trí của chúng là gì, những điều đó chỉ là vấn đề kinh nghiệm. Định lý tổng các góc trong một tam giác là hai góc vuông và tiên đề song song, những thứ đó chỉ có thể được kiểm chứng hoặc bác bỏ bằng thực nghiệm, như Gauss đã nhận định. Nếu chẳng hạn, tất cả các sự kiện được biểu thị bởi các định lý tương đẳng (congruent^[6]) chứng minh là phù hợp với kinh nghiệm, nhưng mặt khác, nếu tổng các góc trong một tam giác được tạo bởi các thanh cứng nhỏ hơn một góc vuông, thì không ai sẽ nghĩ rằng tiên đề song song trong không gian của vật thể thực là có hiệu lực.

[5]

Cần hết sức thận trọng khi đưa một nhận thức nào vào kho tiên nghiệm; nhiều nhận thức trước đây từng được coi là tiên nghiệm giờ đây được nhận diện là không chính xác nữa. Ví dụ ấn tượng nổi bật nhất về điều này là ý tưởng về hiện tại tuyệt đối. Không có thứ gọi là hiện tại tuyệt đối, cho dù chúng ta đã quen chấp nhận nó từ thời thơ ấu đến dường nào, bởi vì trong cuộc sống hàng ngày chúng ta chỉ xoay quanh những khoảng cách ngắn và chuyển động chậm. Nếu điều này diễn ra khác đi, không ai có thể nghĩ đến việc đưa ra thời gian tuyệt đối. Ngay cả những nhà tư tưởng sâu sắc như Newton và Kant cũng chưa bao giờ nghĩ đến việc nghi ngờ tính tuyệt đối của thời gian. Newton thận trọng thậm chí còn diễn tả yêu cầu này (của thời gian tuyệt đối) một cách rõ ràng nhất có thể: thời gian thực tuyệt đối tự nó và theo bản chất của nó trôi chảy đều và không liên quan đến bất kỳ đối tượng nào. Với mô tả đó, Newton đã thành thật ngăn chặn bất kỳ sự rút lui hay thỏa hiệp nào, và Kant, nhà triết học phê phán, đã chứng tỏ mình là người không phê phán ở đây bằng cách sẵn sàng chấp nhận Newton mà không cần suy nghĩ. Chỉ có Einstein cuối cùng mới giải phóng chúng ta khỏi định kiến này – đó sẽ luôn là một trong những chiến công phi thường nhất của tinh thần con người – và lý thuyết tiên nghiệm được áp dụng sâu rộng đến nay không thể bị dẫn chứng là phi lý một cách thuyết phục hơn bởi sự tiến bộ này của khoa học vật lý. Giả định về thời gian tuyệt đối, một trong những hệ quả khác, là kéo theo hệ quả cho định lý về phép cộng vận tốc khi hai vận tốc được kết hợp lại — bản thân cũng là một định lý dường như khó có thể vượt qua về mặt hiễn nhiên và tính dễ hiểu phổ biến của nó — nhưng các thí nghiệm đa dạng nhất trong lĩnh vực quang học, thiên văn học và lý thuyết điện lại cho thấy một cách thuyết phục rằng định lý về phép cộng vận tốc này là không chính xác; thực tế có một định luật khác phức tạp hơn cho sự kết hợp của hai vận tốc.^[7]

Chúng ta có thể nói: trong thời gian gần đây, quan điểm về tính chất thực nghiệm của hình học do Gauss và Helmholtz đề xướng đã trở thành một thành quả chắc chắn của khoa học. Ngày nay nó phải phục vụ như một điểm quy chiếu vững chắc cho mọi suy đoán triết học liên quan đến không gian và thời gian. Vì lý thuyết hấp dẫn của Einstein làm cho điều này rõ ràng: hình học không gì khác hơn là một nhánh của vật lý học; các chân lý hình học về mọi phương diện cơ bản không khác biệt gì với các chân lý vật lý. Ví dụ: định lý Pythagore và định luật hấp dẫn của Newton có liên quan với nhau về bản chất, trong chừng mực chúng bị chi phối bởi cùng một khái niệm vật lý cơ bản, đó là thế (potential). Nhưng đối với mọi người sành sỏi về thuyết hấp dẫn của Einstein còn nhiều hơn nữa: hai định luật này, rất khác nhau và cho đến nay rõ ràng là rất cách xa nhau, một cái là một định lý về hình học căn bản được biết từ thời Cổ đại và được dạy khắp nơi trong trường học, cái kia một định luật chi phối tác động của các khối lượng lên nhau, chúng không chỉ có cùng đặc tính, mà chỉ là các phần của một và cùng một định luật tổng quát.

Sự giống nhau cơ bản của các thực tế hình học và vật lý khó có thể lộ diện rõ ràng hơn. Tất nhiên, trong cấu trúc logic thông thường và trong những trải nghiệm thông thường hàng ngày quen thuộc từ thời thơ ấu của chúng ta, các mệnh đề hình học và động học đi trước các mệnh đề động lực học, và hoàn cảnh này giải thích việc người ta quên rằng tất cả la kinh nghiệm. Vì vậy, chúng ta thấy: Lý thuyết tiên nghiệm của Kant vẫn chứa đựng những rỉ sét do con người tạo ra, và nó cần phải được giải phóng khỏi chúng, và sau quá trình loại bỏ, chỉ còn lại cái quan điểm tiên nghiệm phục vụ làm nền tảng cho nhận thức toán học thuần túy: về cơ bản, đó là quan điểm sau cùng được tôi đặc trưng trong nhiều công trình nghiên cứu ^[8] .

[6]

Công cụ trung gian giữa lý thuyết và thực hành, giữa tư duy và quan sát là toán học. Nó xây dựng cầu nối và làm cho chiếc cầu này ngày càng vững chắc hơn. Cho nên, toàn bộ nền văn hóa hiện tại của chúng ta, trong chừng mực dựa trên nhận thức về tự nhiên và sự làm cho nó có ích, tìm thấy nền tảng của mình trong toán học. Galilei đã từng nói: Người ta chỉ có thể hiểu được tự nhiên khi học được ngôn ngữ của nó và quen thuộc với các ký hiệu mà qua đó tự nhiên nói với chúng ta. Nhưng ngôn ngữ này là toán học, và các ký hiệu chính là những hình thể toán học. Kant từng quả quyết: “Tôi cho rằng trong mỗi môn khoa học tự nhiên đặc biệt, chúng ta chỉ có thể tìm thấy khoa học đích thực trong chừng mực nó chứa nội hàm toán học trong đó.” Sự thật: Chúng ta chỉ làm chủ được một lý thuyết khoa học khi chúng ta tách được cái nhân toán học của nó ra và bóc trần nó hoàn toàn khỏi vỏ. Không có toán học, không thể có ngành thiên văn học và vật lý học ngày nay; những ngành khoa học này, trong những phần lý thuyết của chúng, đều hiện ra ở dạng toán học. Những ứng dụng này, cũng như vô số những ứng dụng khác, là những gì đã giúp cho toán học làm nên tên tuổi mà nó có được với đông đảo công chúng.

Mặc dù vậy, tất cả các nhà toán học đã từ chối lấy ứng dụng làm thước đo giá trị cho toán học. Ông hoàng của các nhà toán học, Gauss, người chắc chắn đồng thời là một nhà toán học ứng dụng xuất sắc, người đã tạo mới toàn cả các ngành khoa học, chẳng hạn như lý thuyết sai số, trắc địa, để làm cho toán học đóng vai trò chủ đạo trong đó, người mà khi các nhà thiên văn khám phá mới hành tinh Ceres – một hành tinh đặc biệt quan trọng và thú vị – nhưng để cho nó thất lạc và không thể tìm lại được, đã sáng tạo ra một lý thuyết toán học mới trên cơ sở đó ông tiên đoán chính xác vị trí của Ceres, người đã phát minh ra máy điện báo và nhiều thứ thiết thực khác, có cùng quan điểm. Lý thuyết số thuần túy là lĩnh vực toán học chưa từng được áp dụng trước đây. Nhưng chính lý thuyết số mà Gauss gọi là nữ hoàng của toán học và được ông cũng như hầu hết các nhà toán học vĩ đại tôn vinh. Gauss nói về sức hấp dẫn kỳ diệu đã làm cho lý thuyết số trở thành môn khoa học yêu thích của các nhà toán học đầu tiên, không kể đến sự phong phú bất tận của nó, mà ở đó nó vượt xa tất cả các phần khác của toán học. Gauss mô tả khi còn trẻ đã bị mê hoặc thế nào bởi sự hấp dẫn của các cuộc nghiên cứu lý thuyết số đến mức ông không thể cưỡng lại chúng được nữa. Ông ca ngợi Fermat, Euler, Lagrange và Legendre là những người nổi tiếng vô song vì đã mở ra cánh cửa đến thánh địa của khoa học thần thánh này, và cho thấy nó chứa đầy những kho báu như thế nào. Và các nhà toán học trước Gauss và những người sau Gauss, chẳng hạn như Lejeune Dirichlet, Kummer, Hermite, Kronecker và Minkowski, cũng phát biểu một cách nhiệt tình tương tự. Kronecker so sánh các nhà lý thuyết số với những người ăn hạt sen, một khi đã nếm thử món này, họ sẽ không bao giờ dừng lại được.

Poincaré, nhà toán học lỗi lạc nhất trong thế hệ của ông, người về cơ bản đồng thời là nhà vật lý và nhà thiên văn học, cũng có cùng quan điểm. Poincaré đã từng quay sang chống lại Tolstoi với sự sắc bén đặc biệt, người đã tuyên bố rằng đòi hỏi “khoa học vì lợi ích của khoa học” là điên rồ. “Liệu chúng ta,” Tolstoi nói, “hướng dẫn bản thân trong việc lựa chọn nghề nghiệp của mình theo tính khí của óc tò mò của chúng ta hay không? Quyết định dựa trên sự hữu dụng, tức là, theo nhu cầu thực tế và đạo đức của chúng ta không tốt hơn hay sao?” Kỳ lạ, chính Tolstoi lại là người mà các nhà toán học chúng ta phải bác bỏ như một người theo chủ nghĩa hiện thực nông cạn và theo chủ nghĩa vị lợi hẹp hòi. Poincaré lập luận chống lại Tolstoi rằng, nếu người ta tiến hành theo công thức của Tolstoi, thì khoa học sẽ không bao giờ ra đời. Bạn chỉ cần mở mắt ra, Poincaré kết luận, để thấy chẳng hạn những thành tựu của ngành công nghiệp sẽ không bao giờ được nhìn thấy ánh sáng nếu những người thực hành này tồn tại một mình, và nếu những thành tựu này không được thúc đẩy bởi những kẻ ngu xuẩn bất vụ lợi, những người không bao giờ nghĩ đến việc khai thác hữu dụng. Tất cả chúng ta đều có cùng quan điểm.

Nhà toán học vĩ đại của chúng ta Jacobi ở Königsberg cũng nghĩ vậy, Jacobi, người mà tên tuổi đứng cạnh Gauss và vẫn được mọi sinh viên trong các môn học của chúng ta gọi với sự tôn kính. Khi nhà toán học nổi tiếng Fourier một lần nói rằng mục đích chính của toán học là để giải thích các hiện tượng tự nhiên, thì chính Jacobi đã quở trách ông với tất cả tính khí sôi nổi của ông. Một triết gia, như chính Fourier, Jacobi kêu lên, lẽ ra phải biết rằng sự tôn vinh tinh thần con người là mục đích duy nhất của mọi ngành khoa học, và rằng từ quan điểm này, một vấn đề của lý thuyết số thuần túy cũng đáng giá như một vấn đề phục vụ cho các ứng dụng.

Bất cứ ai cảm nhận được chân lý của lối suy nghĩ và thế giới quan rộng mở toát ra từ những lời này của Jacobi sẽ không rơi vào chủ nghĩa hoài nghi thoái lui và phù phiếm; anh ta sẽ không tin vào những kẻ với vẻ mặt triết học và giọng điệu cao siêu, tiên đoán về sự suy tàn của văn hóa và rơi vào chủ nghĩa “chúng ta sẽ không biết” (ignorabimus). Đối với nhà toán học không có ignorabimus, và theo tôi, cũng không hề có điều đó đối với khoa học. Nhà triết học Comte đã từng nói—với ý định nêu ra một vấn đề chắc chắn không thể giải quyết được—rằng khoa học sẽ không bao giờ thành công trong việc khám phá bí mật về sự cấu thành hóa học của các thiên thể. Vài năm sau, vấn đề này đã được giải quyết bằng phân tích quang phổ của Kirchhoff và Bunsen, và ngày nay có thể nói rằng chúng ta sử dụng các ngôi sao xa xôi nhất làm những phòng thí nghiệm vật lý và hóa học quan trọng nhất, điều mà chúng ta hoàn toàn không tìm thấy trên trái đất. Theo tôi, lý do thực sự khiến cho Comte không thành công trong việc tìm ra một bài toán không thể giải được là không có cái gọi là bài toán không giải được. Thay vì “chủ nghĩa chúng ta không biết” điên khùng, giải pháp của chúng ta ngược lại là:

Chúng ta phải biết,

Chúng ta sẽ biết

(Wir müssen wissen

Wir warden wissen)^[9]

David Hilbert

 

Chú thích

1. Logic ở đây được hiểu là khoa học về cấu trúc, hình thái và quy luật của tư duy; học thuyết về tư duy logic, về suy luận trên cơ sở các mệnh đề đã cho. Môn logic đã được dạy rộng rãi tại các đại học Trung cổ như một sự bắt buộc để rèn luyện năng lực tư duy con người. ↑
2. Tôi lượt bớt một thí dụ liên quan đến sinh học để tập trung hơn. ↑
3. Thí nghiệm Michelson góp phần vào việc xây dựng tiên đề cho Thuyết tương đối hẹp nhiều hơn là thuyết tương đối rộng. ↑
4. Các định luật vật lý đều phải xuất phát từ kinh nghiệm, điều đó đúng, nhưng bằng con đường nào? Einstein quan niệm rằng phải thông qua con đường “trước tác tự do” (freie Schöpfung) của tinh thần con người. Không có con đường suy luận logic thuần túy nào đi dẫn từ kinh nghiệm tới các định luật. Cũng không có con đường bằng thuyết tiên nghiệm, a priori, của Kant. Đây là một đề tài quan trọng, tôi hy vọng sẽ có dịp trở lại sau trình bày nhiều hơn. ↑
5. Kant trình bày ý tưởng này trong quyển sách Phê phán Lý tính thuần túy. Xem bản dịch của học giả Bùi Văn Nam Sơn. ↑
6. Có cùng dạng và kích cỡ ↑
7. Xem sách Thuyết tương đối hẹp và rộng của Einstein, chương 6 và 13, do Nguyễn Xuân Xanh chuyển ngữ. Nxb Tổng hợp TP HCM. ↑
8. 1 Vgl. Über das Unendliche, Mathem. Ann. 95; Die Grundlagen der Mathematik, Abh. a. d. mathem. Sem. d. Hamburgischen Universität 6. (chú thích của Hilbert) ↑
9. Những lời này được ghi trên bia mộ ông. ↑